Bài luyện tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là kiến thức toán học quan trọng trong chương trình lớp 11 và cũng nằm trong nội dung trọng điểm để ôn thi THPT quốc gia. Đến với dạng bài tập này sẽ dễ gây nhầm lẫn, đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, phân biệt được sự khác nhau giữa 3 dạng bài này. Dưới đây chúng ta sẽ cùng nhau đi thực hành một số dạng bài tập liên quan nhé!

Bài tập 1: Trong tủ sách có 10 cuốn sách. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất kế với quyển thứ hai?

Giải: Có tất cả 10 vị trí, để chọn 2 vị trí liên tiếp trong 10 vị trí có 9 cách.

Hoán vị 2 quyển sách với nhau có 2 cách.

Có 8! cách xếp 8 quyển sách còn lại vào 8 vị trí.

Vậy có tổng cộng số cách là: 9.2.8! = 725760 cách

Bài tập 2: Cho 6 số từ nhiên: 4,5,6,7,8,9. Có bao nhiêu cách lập số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau từ 6 số đã cho?

Giải: Gọi số chẵn có 3 chữ số khác nhau cần tìm có dạng abc.

Vì số abc là số chẵn nên c ∈ {4;6;8}. Vậy có 3 cách chọn c

Để chọn ab từ 5 số còn lại ta có: = 20

Vậy có thể lập được tối đa: 3.=3.20=60 số.

Bài tập 3: Nếu ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không màu nào được dùng hai lần. Hỏi số cách chọn màu cần tô là bao nhiêu?

Giải: Ta sẽ chọn 3 màu trong 5 màu cho sẵn để tô nước khác nhau. Vậy có  = 60 cách.

Bài tập 4: Cho một tập hợp A gồm 7 phần tử như sau: A = {9,7,6,5,4,2,1}. Từ tập hợp A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?

Giải: Ta lấy 4 số khác nhau từ tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Khi đó mỗi số được lập ra sẽ là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử thuộc tập A.

Vậy có thể lập được = 840 số.

Bài tập 5: Cho tập hợp D = {1;3;5;7;9} . Hãy liệt kê những tập hợp chứa tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử thuộc tập hợp D.

Giải: Các tổ hợp chập 3 của D là: {1;3;5}; {1;3;7}; {1;3;9}; {1;5;7}; {1;5;9}; {1;7;9}; {3;5;7}; {3;5;9}; {3;7;9}; {5;7;9}

Các tổ hợp chập 4 của D là: {1;3;5;7}; {1;3;5;9}; {1;5;7;9}; {1;3;7;9}; {3;5;7;9}

Bài tập 6: Trong trận thi đấu bóng đá có 16 đội bóng, để hai đội bất kì gặp nhau đúng một lần thì cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu.

Giải: Số trận đấu để hai đội bất kỳ gặp nhau đúng 1 lần là: = 120 trận đấu

Bài tập 7: Để cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau mà mỗi lọ chỉ cắm 1 hoặc không có, cần bao nhiêu cách cắm nếu các bông hoa là giống nhau.

Giải: Để cắm 3 bông hoa giống hệt nhau vào 3 lọ khác nhau có nghĩa là ta sẽ chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa cho sẵn để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. (Vì các bông hoa như nhau nên khi sắp xếp vào lọ theo cách nào cũng đều có kết quả bằng nhau).

Ta có: = 10 cách cắm hoa.

Bài tập 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 bạn học sinh trong tổ thành một hàng dọc.

Giải: Cách sắp xếp 10 bạn học sinh trong tổ thành một hàng dọc được gọi là một hoán vị của 10 phần tử. 

Vậy số cách sắp xếp là: = 10! = 3,628,800

Bài tập 8: Trong lớp 9B, một bàn gồm 5 học sinh: 3 nam, 2 nữ. Làm thế nào để chọn ra 2 bạn làm trực nhật?

Giải: Để chọn ra 2 bạn làm trực nhật, ta có một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy có số cách chọn là: = 10 cách chọn.